Question

1．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$是同一平面内的三个向量，其中$\overrightarrow{a}$=（1，2）．
（1）若|$\overrightarrow{c}$|=2$\sqrt{5}$，且$\overrightarrow{c}$$∥\overrightarrow{a}$，求向量$\overrightarrow{c}$；
（2）若|$\overrightarrow{b}$|=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，且$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$与2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$垂直，求向量$\overrightarrow{a}$与向量$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）设$\overrightarrow{c}$=λ$\overrightarrow{a}$，则|$\overrightarrow{c}$|=|λ||$\overrightarrow{a}$|，求出λ，即可求向量$\overrightarrow{c}$；
（2）利用$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$与2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$垂直，根据数量积公式，即可求向量$\overrightarrow{a}$与向量$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值．

解答 解：（1）设$\overrightarrow{c}$=λ$\overrightarrow{a}$，∴|$\overrightarrow{c}$|=|λ||$\overrightarrow{a}$|，
∵$\overrightarrow{a}$=（1，2）．
∴2$\sqrt{5}$=|λ|•$\sqrt{5}$
∴λ=±2，
∴$\overrightarrow{c}$=（2，4）或（-2，-4）；
（2）∵$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$与2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$垂直，
∴（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=0，
∴2$\overrightarrow{a}$²-2$\overrightarrow{b}$²+3$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
∴10-$2×\frac{45}{4}$+3$\sqrt{5}×\frac{3\sqrt{5}}{2}$cosθ=0，
∴cosθ=$\frac{5}{9}$，
∴向量$\overrightarrow{a}$与向量$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值为$\frac{5}{9}$．

点评 本题考查向量数量积公式，考查学生的计算能力，正确运用公式是关键．