Question

已知函数f(x)=

4x+a

x2+1

．
（1）当a=0时，函数f（x）在（-∞，+∞）上是否有最值？若有求出最值，若没有请说明理由；
（2）若函数f（x）在[0，2]上有最小值为

12

5

，求f（x）在[0，2]上的最大值；
（3）当f′(2)=-

12

25

时，解不等式f(x+

2

x

-4)-

8

5

＞0．

Answer 1

分析：（1）将a=0代入后对函数f（x）进行求导，根据导函数的正负判断函数的单调性和极值从而可求出最值．
（2）对函数f（x）进行求导可得到f′(x)=

4-2ax-4x2

(x2+1)2

，分母（x²+1）²＞0恒成立，令g（x）=4-2ax-4x²则与x轴必有两个交点，再根据函数单调性可确定f（x）的最小值应在端点取得，最大值在x=x₁处取得，然后对两个端点进行讨论即可确定答案．
（3）当f′(2)=-

12

25

时可求出a的值，根据f(2)=f(

1

2

)=

8

5

，再由函数的单调性可解题．

解答：解：（1）当a=0时，f′(x)=

4-4x2

(x2+1)2

，于是有

又f（-1）=-2，f（1）=2，且x＞0时，f（x）＞0；x＜0时，f（x）＜0；
所以f（x）在（-∞，+∞）上有最大值是f（1）=2；有最小值是f（-1）=-2．

（2）因为f′(x)=

4-2ax-4x2

(x2+1)2

，而（x²+1）²＞0恒成立，
考察函数g（x）=4-2ax-4x²与x轴必有两个交点设为（x₁，0）、（x₂，0）且x₁x₂＜0，不妨设x₁＞0，当2＞x₁＞0时有

所以f（x）在[0，2]上最小值应在端点取得，最大值在x=x₁处取得，
当f(0)=

12

5

时，a=

12

5

，此时f(2)=

52

25

＜

12

5

不合题意；
当f(2)=

12

5

时，a=4，此时f(0)=4＞

12

5

符合题意，
所以a=4代入g（x）=4-2ax-4x²可解得x1=

2

-1，符合2＞x₁＞0．
从而得到f（x）在[0，2]上的最大值为2

2

+2．
当x₁≥2时，f（x）在[0，2]上单调递增，
所以f(0)=

12

5

，a=

12

5

，
代入g（x）=4-2ax-4x²解得x1=

34 -3

5

＜2不合x₁≥2．舍去，
综上f（x）在[0，2]的最大值为2

2

+2，
（3）当f′(2)=-

12

25

时，a=0，又f(2)=f(

1

2

)=

8

5

，
由（1）知

1

2

＜x+

2

x

-4＜2，
从而解得3-

7

＜x＜

1

2

或4＜x＜3+

7

，
所以当f′(2)=-

12

25

时，不等式f(x+

2

x

-4)-

8

5

解集为{x|3-

7

＜x＜

1

2

或4＜x＜3+

7

}．

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系、利用导数求函数的最值、根据单调性解不等式等问题．考查学生的综合运用能力．