题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）过点（1，
3
2
），且长轴长等于4．
（I）求椭圆C的方程；
（II）F1，F2是椭圆C的两个焦点，⊙O是以F1，F2为直径的圆，直线l：y=kx+m与⊙O相切，并与椭圆C交于不同的两点A，B，若
OA
•
OB
=-
3
2
，求k的值．
（I）有题义长轴长为4，即2a=4，解得：a=2，
∵点(1，
3
2
)在椭圆上，∴
1
4
+
9
4b2
=1 解得：b2=3
椭圆的方程为：
x2
4
+
y2
3
=1；
（II）由直线l与圆O相切，得：
|m|
1+k2
=1，即：m2=1+k2
设A（x1，y1）B（x2，y2）    由
x2
4
+
y2
3
=1
y=kx+m
  消去y，
整理得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，
∴x1+x2=-
8km
3+4k2
，x1x2=
4m2-12
3+4k2
，
∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=k2
4m2-12
3+4k2
+km(-
8km
3+4k2
)+m2=
3m2-12k2
3+4k2
∴x1x2+y1y2=
4m2-12
3+4k2
+
3m2+2k2
3+4k2
=
7m2-12k2-12
3+4k2

∵m2=1+k2∴x1x2+y1y2=
-5-5k2
3+4k2
=-
3
2
，
解得：k2=
1
2
，
∴k的值为：±
2
2
．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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