Question

如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC₁F所截面而得到的，其中AEC₁F为平行四边形且AB＝4，BC＝2，CC₁＝3，BE＝1．

(1)求BF的长；

(2)求点C到平面AEC₁F的距离．

Answer 1

解1：（Ⅰ）过E作EH//BC交CC1于H，则CH=BE=1，EH//AD，且EH=AD.又∵AF∥EC1，∴∠FAD=∠C1EH. ∴Rt△ADF≌Rt△EHC1.∴DF=C1H=2.

（Ⅱ）延长C1E与CB交于G，连AG，则平面AEC1F与平面ABCD相交于AG.过C作CM⊥AG，垂足为M，连C1M，由三垂线定理可知AG⊥C1M.由于AG⊥面C1MC，且AG面AEC1F，所以平面AEC1F⊥面C1MC．在Rt△C1CM中，作CQ⊥MC1，垂足为Q，则CQ的长即为C到

平面AEC1F的距离.　

解法2：：

(1)如图，建立空间直角坐标系D－xyz，

则D(0，0，0)，B(2，4，0)，A(2，0，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，

C₁(0，4，3)．设，F(0，0，z)．

∵AEC₁F为平行四边形，∴，(－2，0，z)＝(－2，0，2)

∴z＝2．∴F(0，0，2)．∴＝(－2，4，2)，．

(2)设n₁为平面AEC₁F的法向量，显然n₁不垂直于平面ADF，

所以设n₁＝(x，y，z)．由，得设y＝1，则x＝－4，z＝－4，

∴n₁＝(－4，1，－4)．又∴C到平面AEC₁F的距离为