Question

已知点A（1，，0），B（0，，1），C（2sinθ，cosθ）．
（Ⅰ）若|

AC

|=|

BC

|，求tanθ的值；
（Ⅱ）设O为坐标原点，点C在第一象限，求函数y=(

OA

+2

OB

)•

OC

的单调递增区间与值域．

Answer 1

分析：（I）表示出

AC

和

BC

向量，然后根据 |

AC

|=|

BC

|，可求得tanθ的值．
（Ⅱ）首先表示出向量

OA

=(1，0)，

OB

=(0，1)，

OC

=(2sinθ，cosθ)，进而求出函数的解析式并化简y=2

2

sin(θ+

π

4

)即可求出单调区间和值域．

解答：解：（Ⅰ）∵A（1，0），B（0，1），C（2sinθ，cosθ）
∵

AC

=(2sinθ-1，cosθ)，

BC

=(2sinθ，cosθ-1)
∵|

AC

|=|

BC

|
∴

(2sinθ-1)2+cos2θ

=

(2sinθ)2+(cosθ-1)2

化简得2sinθ=cosθ．
∵cosθ≠0（若cosθ=0，则sinθ=±1，上式不成立），
∴tanθ=

1

2

…（6分）
（Ⅱ）∵

OA

=(1，0)，

OB

=(0，1)，

OC

=(2sinθ，cosθ)，
∴y=2sinθ+2cosθ
=2

2

sin(θ+

π

4

)
∴求函数的单调递增区间为(2kπ，2kπ+

π

4

]，(k∈z)
值域是(2，2

2

]（14分）

点评：本题考查平面向量的数量积，向量的模，同角三角函数的基本关系式，是中档题．