Question

已知a²+b²=2，若a+b≤|x+1|-|x-2|对任意实数a、b恒成立，则x的取值范围是

[

3

2

，+∞）

．

Answer 1

分析：由已知，只需|x+1|-|x-2|大于等于a+b的最大值即可，利用三角换元法可求出a+b的最大值为2．通过解2≤|x+1|-|x-2|即可求出x的取值范围．

解答：解：由已知，只需|x+1|-|x-2|大于等于a+b的最大值即可．
由于a²+b²=2，令a=

2

cosθ，b=

2

sinθ，则a+b=

2

（cosθ+sinθ）=2sin（θ+

π

4

），故a+b的最大值为2．
所以2≤|x+1|-|x-2|．可以化为下面的三个不等式组

x≤-1 -(x+1)+(x-2)≥2

，此时无解
或

-1＜x＜2 (x+1)+(x-2)≥2

，解得

3

2

≤x＜2
或

x≥2 (x+1)-(x-2)≥2

，解得x≥2
综上所述，x的取值范围是[

3

2

，2）∪[2，+∞）=[

3

2

，+∞）
故答案为：[

3

2

，+∞）

点评：本题考查函数恒成立问题，绝对值不等式的解法．考查逻辑思维、计算、分类讨论等思想方法．