Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=1，底边AB上有且只有一点M使得平面D₁DM⊥平面D₁MC，
（1）求异面直线C₁C与D₁M的距离；
（2）求二面角M-D₁C-D的正弦值。

Answer 1

解：(1)过D作于H， ∵平面平面且平面平面， ∴DH⊥平面， ∴， 又∵， ∴平面， ∴， 又∵满足条件的M只有一个， ∴以CD为直径的圆必与AB相切，切点为M，M为AB的中点， ∴， ∴CD=2， ∵MC⊥平面， ∴， 又∵， 所以MC为异面直线C1C与D1M的公垂线段， CM的长度为所求距离。 （2）取CD中点E，连结ME，则ME⊥平面， 过M作于F，连结EF，则， ∴∠MFE为二面角的平面角， 又∵ME=1，， 在中，。