Question

已知数列{a_n}，a₁=1，a_n=λa_n-1+λ-2（n≥2）．
（1）当λ为何值时，数列{a_n}可以构成公差不为零的等差数列？并求其通项公式；
（2）若λ=3，令b_n=a_n+

1

2

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由a₁=1，a_n=λa_n-1+λ-2（≥2），我们可以求出a₂，a₃（含参数λ），根据等差的性质，我们可以根据a₁+a₃=2a₂，构造一个含λ的方程，解方程，并对λ值代入进行讨论，即可得到答案．
（2）若λ=3，利用综合法我们易求出数列a_n}的通项公式，再根据b_n=a_n+

1

2

，求出{b_n}的通项公式，根据其通项公式，选择合适的求和法，求出数列{b_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）a₂=λa₁+λ-2=2λ-2，
a₃=λa₂+λ-2=2λ²-2λ+λ-2=2λ²-λ-2，
∵a₁+a₃=2a₂，
∴1+2λ²-λ-2=2（2λ-2），
得2λ²-5λ+3=0，
解得λ=1或λ=

3

2

．
当λ=

3

2

时，
a₂=2×

3

2

-2=1，a₁=a₂，
故λ=

3

2

不合题意舍去；
当λ=1时，代入a_n=λa_n-1+λ-2可得a_n-a_n-1=-1，
∴数列{a_n}构成首项为a₁=1，公差为-1的等差数列，
∴a_n=-n+2．
（2）由λ=3可得，a_n=3a_n-1+3-2，即a_n=3a_n-1+1．
∴a_n+

1

2

=3a_n-1+

3

2

，
∴a_n+

1

2

=3(an-1+

1

2

)，
即b_n=3b_n-1（n≥2），又b₁=a₁+

1

2

=

3

2

，
∴数列{b_n}构成首项为b₁=

3

2

，公比为3的等比数列，
∴b_n=

3

2

×3^n-1=

3n

2

，
∴S_n=

3 2 (1-3n)

1-3

=

3

4

（3ⁿ-1）．

点评：要判断一个数列是否为等差（比）数列，我们常用如下几种办法：①定义法，判断数列连续两项之间的差（比）是否为定值；②等差（比）中项法，判断是否每一项都是其前一项与后一项的等差（比）中项；③通项公式法，判断其通项公式是否为一次（指数）型函数；④前n项和公式法．