题目内容
如图，设E为正方体ABCD—A1B1C1D1的棱CC1的中点，则平面AB1E和底面A1B1C1D1所成的角的余弦值为__________.
解法一：如图，延长AE与D1C1的延长线交于点P，连结PB1，则PB1即为二面角的棱.?
过C1作C1Q⊥B1P交PB1于点Q，连结EQ.?
∵EC1⊥面A1B1C1D1，由三垂线定理可得EQ⊥PB1，故∠EQC1即为二面角的平面角.?
设正方体的棱长为2，则在△EQC1中，EC1=1,C1Q=
,EQ=
.?
故平面AB1E和底面A1B1C1D1所成的角的余弦值为cosθ=
.
解法二：连结A1C1，显然△A1B1C1是△AB1E在底面内的射影.?
设正方体的棱长为2，则AB1=
，B1E=
，AE=3.?
∴cos∠B1AE=
.?
∴∠B1AE=45°. ∴S△B1AE =
.?
∵S△A1B1C1?=2,故平面AB1E和底面A1B1C1D1所成的角的余弦值为cosθ=
.
答案：
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如图所示，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：
如图所示，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，E、F 分别是棱AA'，CC'的中点，过直线E、F的平面分别与棱BB′，DD′交于M、N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：
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、
，则