Question

在△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，角B的对边b为1，求证：1＜a+c≤2．

Answer 1

分析：证法一：由三角形的三内角成等差数列，根据等差数列的性质及三角形的内角和定理得出B的度数，进而得到A+C的度数，用A表示出C，再由b及sinB的值，利用正弦定理及合比性质表示出a+c，把表示出的C代入，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域得出a+c的最大值，同时根据三角形的两边之和大于第三边得到a+c的最小值，即可得到a+c的范围，得证；
证法二：同上求出B的度数，利用余弦定理表示出cosB，把cosB及b的值代入，利用完全平方公式整理后，根据基本不等式得出a+c的最大值，同理根据三角形的两边之和大于第三边可得a+c的最小值，即可得到a+c的范围，得证．

解答：证法一：∵2B=A+C，又A+B+C=180°，
∴B=60°，C=120°-A．
由正弦定理得

a

sinA

=

c

sinC

=

1

sin60°

，
再由合分比定理得：
a+c=

2 3

3

（sinA+sinC）
=

2 3

3

[sinA+sin（120°-A）]
=2sin（A+30°）≤2，
再由两边之和大于第三边，
∴1＜a+c．
∴1＜a+c≤2．
证法二：先得B=60°（同上得）．
再利用余弦定理知cosB=

a2+c2-b2

2ac

，即

1

2

=

a2+c2-b2

2ac

，
即（a+c）²-1=3ac≤3（

a+c

2

）²．
解得a+c≤2．
又∵a+c＞1，
∴1＜a+c≤2．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，合比性质，等差数列的性质，基本不等式，以及三角形的边角关系，熟练掌握定理及性质是解本题的关键，同时注意一题多解．