题目内容
若a，b，c均为正数，且21ab+2bc+8ca≤12，证明：| 1 |
| a |
| 2 |
| b |
| 3 |
| c |
| 15 |
| 2 |
分析：令
=x，
=y，
=z，则21ab+2bc+8ca≤12，等价于2xyz≥2x+4y+7，可得2xy≥7，z≥
，再结合柯西不等式，即可得证．
| 1 |
| a |
| 2 |
| b |
| 3 |
| c |
| 2x+4y |
| 2xy-7 |
解答：证明：令
=x，
=y，
=z，则21ab+2bc+8ca≤12，等价于2xyz≥2x+4y+7，
∴2xy≥7，z≥
，
∴x+y+x≥x+y
=x+
+
+
≥x+
+2
，
由柯西不等式可得(1+
)(9+7)≥(3+
)2
∴x+y+x≥x+
+
(3+
)=
+x+
≥
，
即
+
+
≥
．
| 1 |
| a |
| 2 |
| b |
| 3 |
| c |
∴2xy≥7，z≥
| 2x+4y |
| 2xy-7 |
∴x+y+x≥x+y
| 2x+4y |
| 2xy-7 |
| 11 |
| 2x |
| 2xy-7 |
| 2x |
| 2(x2+7) |
| x(2xy-7) |
| 11 |
| 2x |
1+
|
由柯西不等式可得(1+
| 7 |
| x2 |
| 7 |
| x |
∴x+y+x≥x+
| 11 |
| 2x |
| 1 |
| 2 |
| 7 |
| x |
| 3 |
| 2 |
| 9 |
| x |
| 15 |
| 2 |
即
| 1 |
| a |
| 2 |
| b |
| 3 |
| c |
| 15 |
| 2 |
点评：本题考查不等式的证明，考查换元法，考查柯西不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
。
。