题目内容

已知定义在R上的函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|≤
π
2
)，最大值与最小值的差为4，相邻两个最低点之间距离为π，且函数y=sin(2x+
π
3
)图象所有的对称中心都在y=f（x）图象的对称轴上．
（1）求f（x）的表达式；
（2）若f(
x0
2
)=
3
2
(x0∈[-
π
2
，
π
2
])，求cos(x0-
π
3
)的值；
（3）设
a
=(f(x-
π
6
)，1)，
b
=(1，mcosx)，x∈(0，
π
2
)，若
a
•
b
+3≥0恒成立，求实数m的取值范围．
（1）依题意可知：A=2，T=π，y=sin(2x+
π
3
)与f（x）相差
T
4
+kT，k∈Z，即相差
π
4
+kπ，k∈Z，
所以f(x)=Asin[2(x+
π
4
+kπ)+
π
3
]=Acos(2x+
π
3
)
或f(x)=Asin[2(x-
π
4
+kπ)+
π
3
]=Acos(2x+
4π
3
)（舍），
故f(x)=2cos(2x+
π
3
)．
（2）因为f(
x0
2
)=
3
2
(x0∈[-
π
2
，
π
2
])，即cos(x0+
π
3
)=
3
4
，
因为x0+
π
3
∈[-
π
6
，
5π
6
]，又cos(-
π
6
)=
3
2
＞
3
4
，y=cosx在[-
π
6
，0]单调递增，
所以x0+
π
3
∈[0，
π
2
]，
所以sin(x0+
π
3
)=
1-(
3
4
)2
=
7
4
，于是
cos(x0-
π
3
)=cos(x0+
π
3
-
2π
3
)=cos(x0+
π
3
)cos
2π
3
+sin(x0+
π
3
)sin
2π
3
=-
3
4
•
1
2
+
7
4
•
3
2
=
21
-3
8

（3）因为
a
=(f(x-
π
6
)，1)，
b
=(1，mcosx)，x∈(0，
π
2
)
a
•
b
+3=f(x-
π
6
)+mcosx+3=2cos2x+mcosx+3=4cos2x+mcosx+1，
于是4cos2x+mcosx+1≥0，得m≥-4cosx-
1
cosx
对于x∈(0，
π
2
)恒成立，
因为(-4cosx-
1
cosx
)max=-4，
故m≥-4．
练习册系列答案
相关题目
已知定义在R上的函数y=f（x）满足下列条件：
①对任意的x∈R都有f（x+2）=f（x）；
②若0≤x1＜x2≤1，都有f（x1）＞f（x2）；
③y=f（x+1）是偶函数，
则下列不等式中正确的是（　　）
已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=
f(x-1)-f(x-2)，x＞0
log2(1-x)，       x≤0
  则：
①f（3）的值为
0
0
，
②f（2011）的值为
-1
-1
．
已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且x∈（-1，1]时f(x)=
1，(-1＜x≤0)
-1，(0＜x≤1)
，则f（3）=（　　）
已知定义在R上的函数f（x）是偶函数，对x∈R都有f（2+x）=f（2-x），当f（-3）=-2时，f（2013）的值为（　　）
A、-2B、2C、4D、-4
已知定义在R上的函数f（x），对任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，若函数y=f（x+1）的图象关于直线x=-1对称，则f（2013）=（　　）
A、0B、2013C、3D、-2013

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