Question

【题目】已知函数的图像在处的切线与直线平行.

(1)求函数的极值；

(2)若，求实数m的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）求得的导数，利用导数的几何意义可得切线的斜率，由两直线平行的条件，斜率相等，可求得的值，求出的导数和单调区间，即可得到所求极值；（2）设，可得，等价于在上为增函数，求得的导数，再由参数分离和构造函数，求出最值，即可得到所求的范围.

(1)f(x)=ax+1xlnx的导数为f′(x)=a1lnx，

可得f(x)的图象在A(1,f(1))处的切线斜率为a1，

由切线与直线xy=0平行，可得a1=1，

即a=2,f(x)=2x+1xlnx，

f′(x)=1lnx，

由f′(x)>0,可得0<x<e,由f′(x)<0，可得x>e，

则f(x)在(0,e)递增,在(e,+∞)递减，

可得f(x)在x=e处取得极大值，且为e+1，无极小值；

(2)可设,若∈(0,+∞)，

由,可得，

即有恒成立，设在(0,+∞)为增函数，

即有g′(x)=1lnx2mx0对x>0恒成立，

可得在x>0恒成立，

由的导数为得：

当h′(x)=0,可得，

h(x)在(0, )递减,在(,+∞)递增，

即有h(x)在x=处取得极小值,且为最小值

可得，

解得

则实数m的取值范围是