题目内容

在直角坐标系xOy中，点P（x_P，y_P）和点Q（x_Q，y_Q）满足 $数学公式$ 按此规则由点P得到点Q，称为直角坐标平面的一个“点变换”．此变换下，若 $数学公式$ =m，∠POQ=θ，其中O为坐标原点，则y=msin（x+θ）的图象在y轴右边第一个最高点的坐标为________．

（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
分析：先利用两点间的距离公式及已知的点变换公式，计算m的值，再利用向量夹角公式和点变换公式计算∠POQ=θ 的值，最后利用三角函数的图象和性质，得函数的最高点坐标即可
解答：依题意，（ $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ =m²
∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ =m²
∴ $\text{[math]}$ =m²
∴m²=2，
即m= $\text{[math]}$
∵∠POQ=θ，
∴cosθ= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵θ= $\text{[math]}$
∴函数y=msin（x+θ）即为y= $\text{[math]}$ sin（x+ $\text{[math]}$ ）
∴此函数在y轴右边第一个最高点的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
故答案为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
点评：本题综合考察了理解题意的能力，两点间的距离公式，向量夹角公式，具有较强的代数变换能力是解决本题的关键

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在直角坐标系xOy中，椭圆C₁：

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂．F₂也是抛物线C₂：y²=4x的焦点，点M为C₁与C₂在第一象限的交点，且|MF₂|=

．
（Ⅰ）求C₁的方程；
（Ⅱ）平面上的点N满足

，直线l∥MN，且与C₁交于A，B两点，若

=0，求直线l的方程．

在直角坐标系xOy中，已知点P（2cosx+1，2cos2x+2）和点Q（cosx，-1），其中x∈[0，π]．若向量

垂直，求x的值．

如图所示，在直角坐标系xOy中，射线OA在第一象限，且与x轴的正半轴成定角60°，动点P在射线OA上运动，动点Q在y轴的正半轴上运动，△POQ的面积为2

．
（1）求线段PQ中点M的轨迹C的方程；
（2）R₁，R₂是曲线C上的动点，R₁，R₂到y轴的距离之和为1，设u为R₁，R₂到x轴的距离之积．问：是否存在最大的常数m，使u≥m恒成立？若存在，求出这个m的值；若不存在，请说明理由．

在直角坐标系xOy中，已知圆M的方程为x²+y²-4xcosα-2ysinα+3cos²α=0（α为参数），直线l的参数方程为

(t为参数）
（I）求圆M的圆心的轨迹C的参数方程，并说明它表示什么曲线；
（II）求直线l被轨迹C截得的最大弦长．

在直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

=1(a＞b＞0)的离心率e=

，左右两个焦分别为F₁，F₂．过右焦点F₂且与x轴垂直的直线与椭圆C相交M、N两点，且|MN|=2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的一个顶点为B（0，-b），是否存在直线l：y=x+m，使点B关于直线l 的对称点落在椭圆C上，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．