Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2；数列{b_n}的首项为1，点P（n，b_n）都在斜率为2的同一条直线l上（以上n∈N*）．
求：（1）数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_bn}、{b_an}的前n项和．

Answer 1

分析：（1）要求数列{a_n}，{b_n}的通项公式，先要根据已知条件判断，数列是否为等差（比）数列，由S_n=2a_n-2，不难得到数列{a_n}为等比数列，而由由题意可知，

bn-b1

n-1

=2
∴b_n=2n-1易得数列{b_n}是一个等差数列．求出对应的基本量，代入即可求出数列{a_n}，{b_n}的通项公式．
（2）由（1）中结论，我们易得基本数列{a_bn}、{b_an}，即数列{a_bn}的通项公式一个等比数列的形式，数列{b_an}的通项公式一个等比数列与一个常数数列的形式，利用等差等比数列的求和公式即可求数列{a_bn}、{b_an}的前n项和．

解答：解：（1）当n=1时，a₁=S₁=2a₁-2∴a₁=2
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2）=2a_n-2a_n-1
∴a_n=2a_n-1
∴{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，即a_n=2ⁿ
由题意可知，

bn-b1

n-1

=2
∴b_n=2n-1
（2）由（1）可知：abn=2bn=22n-1，
数列{a_bn}的前n项和为21+23+25+…+22n-1=

2-22n-1•4

1-4

=

22n+1-2

3

由（1）可知：b_an=2a_n-1=2ⁿ⁺¹-1，
数列{b_an}的前n项和为：

22-1+23-1+24-1+…+2n+1-1 =(22+23+24+…+2n+1)-(1+1+1+…+1) = 22-2n+1×2 1-2 -n =2n+2-n-4

点评：解答特殊数列（等差数列与等比数列）的问题时，根据已知条件构造关于基本量的方程，解方程求出基本量，再根据定义确定数列的通项公式及前n项和公式，然后代入进行运算．