Question

11．设函数f（x）的定义域为R．且满足下列两个条件：①存在x₁≠x₂．使f（x₁）≠f（x₂）：②对任意x，y∈R．有 f（x+y）=f（x）•f（y）．
（1）求f（0）的值：
（2）是否对任意实数x，f（x）＞0恒成立？说明你的理由．

Answer 1

分析 （1）令x=y=0，由条件②，可得f（0），再结合条件①，即可得到所求值；
（2）令x=y=$\frac{t}{2}$，则f（t）=f²（$\frac{t}{2}$），由非负数概念和条件①，即可得到结论．

解答 解：（1）令x=y=0，则f（0）=f（0）•f（0），
可得f（0）=0或1．
若f（0）=0，令y=0，有f（x+0）=f（x）•f（0），
即为f（x）=0，与条件①矛盾，
则f（0）=1；
（2）由 f（x+y）=f（x）•f（y），
可令x=y=$\frac{t}{2}$，则f（t）=f²（$\frac{t}{2}$），
由f²（$\frac{t}{2}$）≥0，
即有f（t）≥0，由于f（t）=0与条件①矛盾．
则有对任意实数x，f（x）＞0恒成立．

点评 本题考查抽象函数的运用，考查赋值法的运用，考查推理的能力，属于中档题．