Question

已知等差数列a_n的首项a₁及公差d都是整数，前n项和为S_n，若a₁＞1，a₄＞3，S₃≤9，设b_n=2ⁿa_n，则b₁+b₂+…+b_n的结果为

 

．

Answer 1

分析：由已知可得a₁+3d＞3，3a₂≤9?d＞

2

3

，a₁+d≤3?a₁≤3-d＜3-

2

3

=

7

3

=2

1

3

结合等差数首项a₁及公差d都是整数可得a₁=2 则

1

3

＜d≤1?d=1，从而可得a_n=2+1×（n-1）=n+1，b_n=2ⁿa_n=2ⁿ（n+1），利用乘公比错位相减的方法求和即可

解答：解：因为a₁＞1，a₄＞3，S₃≤9，
所以a₁+3d＞3，3a₂≤9?d＞

2

3

，a₁+d≤3?a₁≤3-d＜3-

2

3

=

7

3

=2

1

3

．
∵等差数列{a_n}的首项a₁及公差d都是整数
∴a₁=2 则

1

3

＜d≤1?d=1．
∴a_n=2+1×（n-1）=n+1．
∴b_n=2ⁿa_n=2ⁿ（n+1）
令S_n=b₁+b₂+…+b_n
=2•2¹+3•2²+…+n•2^n-1+（n+1）•2ⁿ①
∴2S_n=2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ+（n+1）2ⁿ⁺¹②
①-②得，-S_n=2•2¹+2²+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹=4+

4(1-2n-1)

1-2

-(n+1)•2n+1
=-n•2ⁿ⁺¹
∴S_n=n•2ⁿ⁺¹
故答案为：n•2ⁿ⁺¹

点评：等差数列、等比数列的通项公式、和的求解的综合一直是数列部分的考查重点之一，而数列的求和中“错位相减”的求和方法又是求和的重点和难点，要注意方法的把握．