题目内容

已知等差数列{an}的首项a1＞0，公差d＞0，前n项和为Sn，设m，n，p∈N*，且m+n=2p
（1）求证：Sn+Sm≥2Sp；
（2）求证：Sn•Sm≤（Sp）2；
（3）若S1005=1，求证：
2009
n=1
1
Sn
≥2009．
分析：（1）由等差数列前n项和公式可得Sn=
d
2
n2+(a1-
d
2
)n，代入Sn+Sm，利用m+n=2p可证
（2）由等差数列前n项和公式可得Sn=
d
2
n2+(a1-
d
2
)n，代入SnSm，利用m+n=2p可证
（3）由（2）可得
Sp
Sm
≥
Sn
Sp
，从而有
2009
n=1
1
Sn
=
S1005
S1
+
S1005
S2
+
S1005
S2009
=
S2009
S1005
+
S2008
S1005
+
S1
S1005
，再利用（1）的结论可证．
解答：证明：（1）由等差数列前n项和公式可得Sn=
d
2
n2+(a1-
d
2
)n，
∴Sn+Sm=
d
2
n2+(a1-
d
2
)n+ 
d
2
m2+(a1-
d
2
)m=
d
2
(n2+m2)+( m+n)a1-
d
2
(m+n)≥2Sp

（2）SnSm=[
d
2
n2+(a1-
d
2
)n][
d
2
m2+(a1-
d
2
)m]≤
d2
4
p2+
d
2
(a1-
d
2
)p3+(a1-
d
2
)2p2，
∴SnSm≤（Sp）2

(3)
2009
n=1
1
Sn
=
S1005
S1
+
S1005
S2
+
S1005
S2009
=
S2009
S1005
+
S2008
S1005
+
S1
S1005
≥2009
点评：本题主要考查等差数列的前n项和公式及不等式的基本性质，考查等价转化思想，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知等差数列{an}，公差d不为零，a1=1，且a2，a5，a14成等比数列；
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}满足bn=an•3n-1，求数列{bn}的前n项和Sn．
已知等差数列{an}中：a3+a5+a7=9，则a5=
 
．
已知等差数列{an}满足：a5=11，a2+a6=18．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若bn=an+q an（q＞0），求数列{bn}的前n项和Sn．
已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10
（1）求数列{an}的通项公式；     
（2）求数列{|an|}的前n项和；
（3）求数列{
an2n-1
}的前n项和．
精英家教网已知等差数列{an}中，a4a6=-4，a2+a8=0，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若{an}为递增数列，请根据如图的程序框图，求输出框中S的值（要求写出解答过程）．

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