题目内容

20.现有一组互不相同且从小到大排列的数据：a0，a1，a2，a3，a4，a5，其中a0=0.为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：记T=a0+a1+…a5，xn=，yn=（a0+a1+…+an），作函数y=f（x），使其图像为逐点依次连接点Pn（xn，yn）（n=0，1，2，…，5）的折线.

（Ⅰ）求f（0）和f（1）的值；

（Ⅱ）设Pn－1Pn的斜率为kn（n=1，2，3，4，5），判断k1，k2，k3，k4，k5的大小关系；

（Ⅲ）证明：f（xn）<xn（n=1，2，3，4）.

20.本小题主要考查函数、不等式等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.

（Ⅰ）解：f（0）==0，

　　　f（1）==1.

（Ⅱ）解：

　　　kn==an，n=1，2，…，5，

　　　因为a1<a2<a3<a4<a5，

　　　所以k1<k2<k3<k4<k5.

（Ⅲ）证法一：

　　　对任何n（n=1，2，3，4），

　　　5（a1+…+an）=[n+（5－n）]（a1+…+an）

　　　=n（a1+…+an）+（5－n）（a1+…+an）

  　　≤n（a1+…+an）+（5－n）nan

  　　=n[a1+…+an+（5－n）an]

  　　<n（a1+…+an+an+1+…+a5）=nT，

  　　所以f（xn）=<=xn.

　　　证法二：

　　　对任何n（n=1，2，3，4），

　　　当kn<1时，

　　　yn=（y1－y0）+（y2－y1）+…+（yn－yn－1）

　  　　=（k1+k2+…+kn）<=xn.

　　　当kn≥1时，

　　　yn=y5－（y5－yn）

　　　　=1－[（yn+1－yn）+（yn+2－yn+1）+…+（y5－y4）]

   　　=1－（kn+1+kn+2+…+k5）<1－（5－n）==xn，

　　　综上，f（xn）<xn.

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（2013•通州区一模）现有一组互不相同且从小到大排列的数据a0，a1，a2，a3，a4，a5，其中a0=0．记T=a0+a1+a2+a3+a4+a5，xn=
n
5
，yn=
1
T
(a0+a1+…+an)（n=0，1，2，3，4，5），作函数y=f（x），使其图象为逐点依次连接点Pn（xn，yn）（n=0，1，2，3，4，5）的折线．
（Ⅰ）求f（0）和f（1）的值；
（Ⅱ）设直线Pn-1Pn的斜率为kn（n=1，2，3，4，5），判断k1，k2，k3，k4，k5的大小关系；
（Ⅲ）证明：当x∈（0，1）时，f（x）＜x．
现有一组互不相同且从小到大排列的数据:a0,a1,a2,a3,a4,a5,其中a0=0.为提取反映数据间差异程度的某种指标,今对其进行如下加工:记T=a0+a1+…+a5,xn=,yn=(a0+a1+…+an),作函数y=f(x),使其图象为逐点依次连结点Pn(xn,yn)(n=0,1,2, …,5)的折线.

(1)求f(0)和f(1)的值;

(2)设Pn-1Pn的斜率为kn(n=1,2,3,4,5),判断k1、k2、k3、k4、k5的大小关系;

(3)证明当x∈(0,1)时,f(x)＜x.

现有一组互不相同且从小到大排列的数据a0，a1，a2，a3，a4，a5，其中a0=0．记T=a0+a1+a2+a3+a4+a5，xn=
n
5
，yn=
1
T
(a0+a1+…+an)（n=0，1，2，3，4，5），作函数y=f（x），使其图象为逐点依次连接点Pn（xn，yn）（n=0，1，2，3，4，5）的折线．
（Ⅰ）求f（0）和f（1）的值；
（Ⅱ）设直线Pn-1Pn的斜率为kn（n=1，2，3，4，5），判断k1，k2，k3，k4，k5的大小关系；
（Ⅲ）证明：当x∈（0，1）时，f（x）＜x．
现有一组互不相同且从小到大排列的数据a，a1，a2，a3，a4，a5，其中a=0．记T=a+a1+a2+a3+a4+a5，，（n=0，1，2，3，4，5），作函数y=f（x），使其图象为逐点依次连接点Pn（xn，yn）（n=0，1，2，3，4，5）的折线．
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（Ⅱ）设直线Pn-1Pn的斜率为kn（n=1，2，3，4，5），判断k1，k2，k3，k4，k5的大小关系；
（Ⅲ）证明：当x∈（0，1）时，f（x）＜x．

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