Question

在△PMN中，|MN|=6，tan∠PMN=

1

2

，tan∠PNM=-2．建立适当坐标系，
（1）求直线MP和直线NP的方程；
（2）求以M，N为焦点且过P的椭圆方程．

Answer 1

分析：（1）以直线MN为x轴，MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，利用tan∠PMN=

1

2

，tan∠PNM=-2即可求得直线MP和直线NP的方程；
（2）由（1）可求得点P（5，4），
法1：求得|PM|，|PN|，利用椭圆的定义即可求其方程；
法2：设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

a2-9

=1，点P（5，4）代入即可求之．

解答：解：（1）如图，以直线MN为x轴，MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．
设所求椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，焦点为M（-3，0），N（3，0）
由tan∠PMN=

1

2

，tanα=tan（π-∠MNP）=2，
得直线PM：y=

1

2

（x+3）①，
直线PN：y=2（x-3）②，
（2）将①，②联立，解得点P（5，4）．
法1：∴|PM|=4

5

，|PN|=2

5

，
又2a=|PM|+|PN|，解得a=3

5

∴b²=a²-c²=36，故所求椭圆方程为：

x2

45

+

y2

36

=1．
法2：设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

a2-9

=1，点P（5，4）代入得a=3

5

，
故所求椭圆方程为

x2

45

+

y2

36

=1．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线的一般方程，考查分析与运算能力即规范的书写表达能力，属于中档题．