Question

18.已知点A（2,8），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）在抛物线y²=2px上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）.

　　（Ⅰ）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；

　　（Ⅱ）求线段BC中点M的坐标；

　　（Ⅲ）求BC所在直线的方程.

Answer 1

18.本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力.

　　解：（Ⅰ）由点A（2,8）在抛物线y²=2px上，有8²＝2p·2,

 　　　　　解得p=16.

　　　　 所以抛物线方程为y²=32x,焦点F的坐标为（8，0）.

（Ⅱ）如图，由于F（8，0）是△ABC的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的定比分点，且=2.

　　　设点M的坐标为（x₀,y₀）,则

　　　　　=8,=0,

     解得x₀=11,y₀=－4,

     所以点M的坐标为（11，－4）.（Ⅲ）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴.设BC所在直线的方程为

y+4=k（x－11）（k≠0）.

      由消x得

　　　ky²－32y－32（11k+4）=0,

      所以y₁+y₂=.

　　　由（Ⅱ）的结论得=－4,

　　　解得k=－4.

      因此BC所在直线的方程为

　　　y+4=－4（x－11）,

      即　4x+y－40=0.