题目内容
已知向量
=（cosλθ，cos（10-λ）θ），
=（sin（10-λ）θ，sinλθ），λ、θ∈R．
（1）求|
|2+|
|2的值；
（2）若
⊥
，求θ；
（3）若θ=
，求证：
∥
．
| a |
| b |
（1）求|
| a |
| b |
（2）若
| a |
| b |
（3）若θ=
| π |
| 20 |
| a |
| b |
分析：（1）由向量的数量积的坐标表示可求|
|，|
|，代入即可求解
（2）由
⊥
，利用向量数量积的性质的坐标表示可得cosλθ•sin（10-λ）θ+cos（10-λ） θ•sinλθ=0，整理可求θ
（3）要证明
∥
，根据向量平行的坐标表示，只要证明cosλθ•sinλθ-cos（10-λ） θ•sin[（10-λ） θ]=0即可
| a |
| b |
（2）由
| a |
| b |
（3）要证明
| a |
| b |
解答：解：（1）∵|
|=
，|
|=
（算1个得1分）
|
|2+|
|2=2，…（4分）
（2）∵
⊥
，
∴cosλθ•sin（10-λ）θ+cos（10-λ） θ•sinλθ=0
∴sin（（10-λ） θ+λθ）=0，
∴sin10θ=0…（7分）
∴10θ=kπ，k∈Z，
∴θ=
，k∈Z…（9分）
（3）∵θ=
，cosλθ•sinλθ-cos（10-λ） θ•sin[（10-λ） θ]
=cos
•sin
-cos（
-
）•sin（
-
）
=cos
•sin
-sin
•cos
=0，
∴
∥
…..…..（14分）
| a |
| cos2λθ+cos2(10-λ)θ |
| b |
| sin2(10-λ)θ+sin2λθ |
|
| a |
| b |
（2）∵
| a |
| b |
∴cosλθ•sin（10-λ）θ+cos（10-λ） θ•sinλθ=0
∴sin（（10-λ） θ+λθ）=0，
∴sin10θ=0…（7分）
∴10θ=kπ，k∈Z，
∴θ=
| kπ |
| 10 |
（3）∵θ=
| π |
| 20 |
=cos
| λπ |
| 20 |
| λπ |
| 20 |
| π |
| 2 |
| λπ |
| 20 |
| π |
| 2 |
| λπ |
| 20 |
=cos
| λπ |
| 20 |
| λπ |
| 20 |
| λπ |
| 20 |
| λπ |
| 20 |
∴
| a |
| b |
点评：本题主要考查了 向量的数量积的性质的坐标表示及向量平行的坐标表示，属于基础试题
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