Question

已知向量

a

=（cos（-θ），sin（-θ）），

b

=(cos(

π

2

-θ)，sin(

π

2

-θ))．
（1）求证：

a

⊥

b

．
（2）若存在不等于0的实数k和t，使

x

=

a

+（t²+3）

b

，

y

=（-k

a

+t

b

），满足

x

⊥

y

，试求此时

k+t2

t

的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积公式求出

a

•

b

，利用三角函数的诱导公式化简得数量积为0，利用向量垂直的充要条件得证．
（2）利用向量垂直的充要条件列出方程，利用向量的运算律化简方程，将方程中的k用t表示，代入

k+t2

t

，利用二次函数最值的求法求出最小值．

解答：解：（1）证明∵

a

•

b

=cos（-θ）•cos（

π

2

-θ）+sin（-θ）•sin(

π

2

-θ)=sinθcosθ-sinθcosθ=0．
∴

a

⊥

b

．
（2）解由

x

⊥

y

得

x

•

y

=0，
即[

a

+（t²+3）

b

]•（-k

a

+t

b

）=0，
∴-k

a

2+（t³+3t）

b

2+[t²-k（t+3）]

a

•

b

=0，
∴-k|

a

|2+（t³+3t）|

b

|2=0．
又|

a

|2=1，|

b

|2=1，
∴-k+t³+3t=0，
∴k=t³+3t．
∴

k+t2

t

=

t3+t2+3t

t

=t²+t+3=(t+

1

2

)22+

11

4

．
故当t=-

1

2

时，

k+t2

t

有最小值

11

4

．

点评：本题考查向量垂直的充要条件、向量的运算律、二次函数最值的求法．