Question

已知函数f（x）=ax-ln（2x+1），其中a∈R．
（Ⅰ）当函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x时，求a值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）函数f（x）的图象总是在直线y=2ax+

1

2

a的上方，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据导数的几何意义求出函数在x=0处的导数，从而得到切线的斜率，建立等式关系，再根据切点在函数图象建立等式关系，解方程组即可求出a；
（II）由（Ⅰ）得f'（x），令f′（x）＞0和令f′（x）＜0，即可求出函数f（x）的单调区间．
（III）函数f（x）的图象总是在直线y=2ax+

1

2

a的上方，即ax-ln（2x+1）＞2ax+

1

2

a在（-

1

2

，+∞）上恒成立，
即a＜-

2ln(2x+1)

2x+1

在（-

1

2

，+∞）上恒成立．构造函数G（x）=-

2ln(2x+1)

2x+1

，求函数的导数，根据导数判断函数的单调性，求出最小值，即可得a的取值范围．

解答：解：（I）f′（x）=a-

2

2x+1

，
∴函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x，
∴f′（0）=a-2=2，
∴a=4．
（II）由已知得函数f（x）的定义域为（-

1

2

，+∞），且f′（x）=a-

2

2x+1

，
（1）当a≤0时，f′（x）＜0，函数f（x）在（-

1

2

，+∞）上单调递减，
（2）当a＞0时，由f′（x）=0，解得x=

2-a

2a

＞-

1

2

．f′（x）、f（x）随x的变化情况如下表

x	(- 1 2 ， 2-a 2a )	2-a 2a	( 2-a 2a ，+∞)
f′（x）	-	0	+
f（x）	减	极小值	增

从上表可知
当x∈(-

1

2

，

2-a

2a

)时，f′（x）＜0，函数f（x）在(-

1

2

，

2-a

2a

)上单调递减．
当x∈(

2-a

2a

，+∞)时，f′（x）＞0，函数f（x）在(

2-a

2a

，+∞)上单调递增．
综上所述：
当a≤0时，函数f（x）在（-

1

2

，+∞）上单调递减．
当a＞0时，函数f（x）在(-

1

2

，

2-a

2a

)上单调递减，函数f（x）在(

2-a

2a

，+∞)上单调递增．
（III）函数f（x）的图象总是在直线y=2ax+

1

2

a的上方，
即ax-ln（2x+1）＞2ax+

1

2

a在（-

1

2

，+∞）上恒成立，
即a＜-

2ln(2x+1)

2x+1

在（-

1

2

，+∞）上恒成立．
设G（x）=-

2ln(2x+1)

2x+1

，则G′（x）=

4ln(2x+1)-4

(2x+1)2

，
令G′（x）＞0得x＞

e-1

2

，G′（x）＜0得-

1

2

＜x＜

e-1

2

，G′（x）=0得x=

e-1

2

，
∴G（x）在x=

e-1

2

处取得最小值G（

e-1

2

）=-

2

e

．
∴a＜-

2

e

．
∴a的取值范围：a＜-

2

e

．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及导函数的正负与原函数的单调性之间的关系等基础题知识，考查运算求解能力，考查等价转化能力和分类讨论思想，属于中档题．