Question

已知一系列函数有如下性质：
函数y=x+

1

x

在（0，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数；
函数y=x+

2

x

在(0，

2

]上是减函数，在[

2

，+∞)上是增函数；
函数y=x+

3

x

在(0，

3

]上是减函数，在[

3

，+∞)上是增函数；…
利用上述所提供的信息解决问题：若函数y=x+

3m

x

(x＞0)的值域是[6，+∞），则实数m的值是

 

．

Answer 1

分析：根据一系列函数的性质进行归纳和类比，总结出函数y=x+

p

x

（p为常数）的性质和增减区间，从而求解．

解答：解：∵函数y=x+

1

x

在（0，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数；
函数y=x+

2

x

在(0，

2

]上是减函数，在[

2

，+∞)上是增函数；
函数y=x+

3

x

在(0，

3

]上是减函数，在[

3

，+∞)上是增函数；
∴函数y=x+

p

x

（p为正常数）在（0，

p

]上是减函数，在[

p

，+∞）上是增函数；
∵函数y=x+

3m

x

(x＞0)的值域是[6，+∞），
∴函数在x=

3m

取得最小值为6，
∴

3m

+

3m

3m

=6，
解得m=2，故答案为2．

点评：此题考查基本不等式的性质和学生的归纳与类比的能力，考查函数y=y=x+

p

x

性质是高考经常出现的题型，在今后学习过程中要注意．