Question

已知点（1，2）是函数f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的图象上一点，数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=n+a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）当n=1时，a₁=S₁=1；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可得出；
（2）由于b_n=n+a_n，所以bn=n+2n-1．利用等差数列和等比数列的前n项和公式即可得出．

解答：解：（1）把点（1，2）代入函数f（x）=a^x得2=a¹，解得a=2，
∴数列{a_n}的前n项和为S_n=f（n）-1=2ⁿ-1．
当n=1时，a₁=S₁=1；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1，
对n=1时也适合．∴an=2n-1．
（2）由于b_n=n+a_n，所以bn=n+2n-1．
分组求和可得：Tn=(1+2+…+n)+1+2+22+…+2n-1
=

n(1+n)

2

+

2n-1

2-1

=

n(1+n)

2

+2n-1．

点评：熟练掌握当n=1时，a₁=S₁=1；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1求a_n、等差数列和等比数列的前n项和公式是解题的关键．