Question

已知动点P（x，y）到定点F（1，0）的距离比它到定直线x=-2的距离小1．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）在轨迹C上是否存在两点M、N，使这两点关于直线l：y=kx+3对称，若存在，试求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意先转化为：动点P到定点和它到直线x=-1的距离相等，再根据抛物线的定义即可求出．
（2）在轨迹C上若存在两点M、N，则满足k_MN×k=-1，MN的中点为Q（x_°，y_°）在直线l上，即y₀=kx₀+3；又由Q（x₀，y₀）在抛物线的内部，则y02＜4x0，代入解出即可．

解答：解（1）由题意可知，动点P到定点和它到直线x=-1的距离相等，由抛物线定义知点P的轨迹是以F（1，0）为焦点，以直线x=-1为准线的抛物线，
∴

p

2

=1⇒p=2，
∴轨迹方程为y²=4x．
（2）易知k=0时不符合题意，应舍去．
当k≠0时，设点M(

y 2 1

4

，y1)，N(

y 2 2

4

，y2)关于直线l：y=kx+3对称，MN的中点为Q（x_°，y_°），则

y2-y1

y 2 2 4 - y 2 1 4

=-

1

k

⇒y1+y2=-4k⇒y°=-2k，
∵Q（x₀，y₀）在直线l上，
∴y₀=kx₀+3，∴x0=-

2k+3

k

．
∵点Q在抛物线的内部，∴y02＜4x0．
即(-2k)2＜4×(-

2k+3

k

)⇒

k3+2k+3

k

＜0⇒

(k+1)(k2-k+3)

k

＜0．
∵k2-k+3=(k-

1

2

)2+

11

4

＞0恒成立，∴

k+1

k

＜0，
∴k（k+1）＜0，解得-1＜k＜0．
∴k的取值范围是（-1，0）．

点评：本题考查了抛物线的定义及抛物线上是否存在关于某直线对称的两点问题，充分理解定义及会利用两点关于直线对称的知识是解题的关键．