Question

已知椭圆的C两个焦点分别为F₁（0，-1），F₂（0，1），离心率，P是椭圆C在第一象限内的一点，且|PF₁|-|PF₂|=1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求点P的坐标；
（3）若点Q是椭圆C上不同于P的另一点，问是否存在以PQ为直径的圆G过点F₂？若存在，求出圆G的方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可得c=1，，b²=a²-1²=3，从而可求椭圆的方程
（2）法一：由椭圆定义得|PF₁|+|PF₂|=4，联立|PF₁|-|PF₂|=1可求PF₁，PF₂结合F₁F₂=2，有|PF₁|²=|PF₂|²+|F₁F₂|²
可得PF₂⊥F₁F₂P的纵坐标为1，进而可求P的坐标
法二：由|PF₁|-|PF₂|=1得点P在双曲线的上支，从而可得P为椭圆与双曲线的交点，联立，可求
（3）设存在满足条件的圆，则PF₂⊥QF₂，设Q（s，t），则由题意可得可求Q
由或，，从而可得圆的方程
解答：解：（1）依题可设椭圆方程为
则，b²=a²-1²=3-------------（2分）
故曲线C的方程为．-------------------（3分）
（2）法一：由椭圆定义得|PF₁|+|PF₂|=4-----（1分）
联立|PF₁|-|PF₂|=1得-------（2分）
又|F₁F₂|=2，有|PF₁|²=|PF₂|²+|F₁F₂|²
∴PF₂⊥F₁F₂
∴P的纵坐标为1，-------------------（3分）
把y=1代入得或（舍去）
∴-------------------（4分）
法二：由|PF₁|-|PF₂|=1得点P在以F₁（0，-1），F₂（0，1）为焦点，实轴长为1的双曲线的上支上，---------（1分）
双曲线的方程为-------------------（2分）
联立得------------------（3分）
因P在第一象限内，故∴-------------------（4分）
（3）设存在满足条件的圆，则PF₂⊥QF₂，设Q（s，t），则-------------------（1分）
得，得s=0-------------------（2分）
又，∴t=±2-------------------（3分）
∴Q（0，2）或Q（0，-2）-------------------（4分）
，∴，
∴圆G为：-------------（6分）
或，∴，∴圆G为：------------（7分）
点评：本题主要考查了由椭圆的性质求解椭圆的方程，双曲线的定义的应用，直线与圆、圆锥曲线的位置关系的应用，属于知识的综合运用．