Question

已知椭圆的C两个焦点分别为F₁（0，-1），F₂（0，1），离心率e=

1

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）是否存在这样的直线L交椭圆C与A、B两点，且满足

AF2

=2

F2B

，若存在求出该直线L，若不存在说明理由．

Answer 1

分析：（I）由椭圆的C两个焦点分别为F₁（0，-1），F₂（0，1），离心率e=

1

2

．可得椭圆的焦点在y轴上，进而求出a，b值，可得椭圆的标准方程．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）由

AF2

=2

F2B

，得：x₁=-2x₂，y₁=3-2y₂，由此可求直线的方程；

解答：解：（I）∵椭圆的C两个焦点分别为F₁（0，-1），F₂（0，1），
故设椭圆的标准方程为：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），且c=1
又∵椭圆的离心率e=

c

a

=

1

2

．
故a²=4，b²=3
故椭圆的标准方程为：

y2

4

+

x2

3

=1
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）由

AF2

=2

F2B

得：x₁=-2x₂，y₁=3-2y₂，
由

y 2 2

4

+

x 2 2

3

=1，

(3-2y2)2

4

+

4 x 2 2

3

=1
解得：y₂=

7

4

，x₂=±

3 13

13

∴k=±

13

4

∴直线的方程为y=±

13

4

+1；

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查面积的计算，同时考查基本不等式的运用，属于中档题．