题目内容

某厂家研发甲、乙两种产品准备试产，经调研，生产甲产品需固定成本100万元，每生产一件产品，成本增加1万元，每件销售价格p（万元/件）与产量x（件）满足关系p=25-

x；乙产品的利润L（万元）与成本t（万元）的关系为L=

0，0≤t≤4

80lnt，4＜t≤100.

现有资金200万元，所生产的产品都能销售出去，并且甲产品必须生产．
（I）要使甲产品的利润最大，应生产甲产品多少件；
（Ⅱ）若资金全部投入生产，如何分配对甲、乙的投资，能使厂家获得的利润最大？

分析：（Ⅰ）先求出生产甲产品x件的利润表达式，再利用函数的单调性即可得出；
（Ⅱ）先得出厂家获得利润的函数表达式，再利用导数和二次函数得出函数的单调性即可得出最大值．

解答：解：（Ⅰ）设f（x）表示生产甲产品x件的利润，则f（x）=px-100-x=（25-

x）x-100-x=-

x2+24x-100=-

(x-96)2+1052，x必须满足

x＞0

100+x≤200

解得0＜x≤100．
∴x∈（0，100]，因此当x=96时，f（x）取得最大值，f（96）=1052．
（Ⅱ）设200万元资金中的x万元用于生产乙产品，则（200-x）万元用于生产甲产品（至多只生产甲产品200-x-100=100-x件，∵甲产品必须生产，∴0≤x＜100）．
设g（x）表示厂家获得的利润，则g（x）=

(x-4)2+1052，当0≤x≤4时

80lnt-

(x-4)2+1052，当4＜x＜100时

，
①当0≤x≤4时，g（x）单调递增，∴x=4，g（x）取得最大值g（4）=1052；
②当4＜x＜100时，g（x）=80lnx-

(x-4)2+1052，则g′(x)=

(x-4)=

-(x-20)(x+16)

，
令g^′（x）=0，解得x=20．
当4＜x＜20时，g^′（x）＞0，函数g（x）在区间（4，20）上单调递增；当20＜x＜100时，g^′（x）＜0，函数g（x）在区间（4，20）上单调递减．
∴g（x）在x=20取得最大值，且g（20）=80ln20+1020．
∵g（20）-g（4）=80ln20-32＞80-32＞0，
∴当x=20时，能使厂家获得的利润最大．即把20万元用于生产乙产品，把180万元用于生产甲产品，能使厂家获得最大利润为80ln20+1020万元．

点评：正确列出函数的表达式，熟练掌握二次函数的单调性和利用导数研究函数的单调性是解题的关键．