Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）与直线2x+my+3=0相交于A，B两点，以抛物线C的焦点F为圆心、FO为半径（O为坐标原点）作⊙F，⊙F分别与线段AF，BF相交于D，E两点，则|AD|•|BE|的值是（　　）

• A、

  2

  3

• B、

  3

  2

• C、

  4

  9

• D、

  9

  4

Answer 1

分析：先把直线方程与抛物线方程联立消去y，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据韦达定理求得x₁x₂的值进而根据抛物线定义可知|FA|=x₁+

p

2

，|FB|=x₂+

p

2

；代入|AD|•|BE|=（|FA|-

p

2

）（|FB|-

p

2

）中即可求得答案．

解答：解：把直线方程与抛物线方程联立消去y得4x²+（12-2m²p）x+9=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则x₁x₂=

9

4

，
|AD|•|BE|=（|FA|-

p

2

）（|FB|-

p

2

）
根据抛物线定义可知|FA|=x₁+

p

2

，|FB|=x₂+

p

2

∴|AD|•|BE|=（x₁+

p

2

-

p

2

）（x₂+

p

2

-

p

2

）=x₁x₂=

9

4

，
故选D

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系．当涉及抛物线线的焦点的时候，常需用抛物线的定义来解决．