Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（Ⅰ）求证：BC₁⊥平面CDB₁；
（Ⅱ）求二面角B-B₁D-C的大小；
（Ⅲ）求三棱锥D₁-CDB₁的体积．

Answer 1

分析：（I）根据正方体的几何特征可得CD⊥面BCC₁B₁，进而CD⊥BC₁，B₁C⊥BC₁，结合线面垂直的判定定理得到BC₁⊥平面CDB₁；
（Ⅱ）设B₁C∩BC₁=O，过点O作OE⊥B₁D，垂足为点E，连结BE，可知∠BEO为二面角B-DB₁-C的平面角，解三角形可得二面角B-B₁D-C的大小；
（Ⅲ）B₁C₁⊥面ACC₁A₁
可知B₁C₁为三棱锥D₁-CDB₁的面D₁CD上的高，代入棱锥体积公式可得答案．

解答：证明：（Ⅰ）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中有CD⊥面BCC₁B₁，
且四边形BCB₁C₁为矩形．
∴CD⊥BC₁，B₁C⊥BC₁
∴BC₁⊥平面CDB₁---------------------------------（4分）
解：（Ⅱ）设B₁C∩BC₁=O，过点O作OE⊥B₁D，垂足为点E，连结BE
由BC₁⊥平面CDB₁知：BE⊥B₁D
∴∠BEO为二面角B-DB₁-C的平面角-------（6分）
在正方形BC C₁B₁中，BC=CD=1，
∴B₁O=BO=OC=

2

2

，
∵Rt△DCB₁∽Rt△OCB₁
∴OE=

6

6

------------（8分）
∴tan∠BEO=

3

即∠BED=60°
∴二面角B-AB₁-C为60°--------------------------（10分）
解：（Ⅲ）∵B₁C₁⊥面ACC₁A₁
∴VD1-CDB1=VB1-CDD1=

1

3

S△CDD1•B1C1=

1

3

•

1

2

•1=

1

6

-------（14分）

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面垂直的判断，棱锥的体积，是空间几何知识的综合应用，难度中档．