Question

【题目】已知函数，其中．

（1）讨论函数零点的个数；

（2）若不等式在区间（）上的解集为非空集合，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)

【解析】

（1）先求定义域，再求导，对a进行分类讨论，然后根据导数和函数单调性的关系即可求出单调区间. （2）由题意可得在上存在使 成立，即求的最小值小于等于，对a进行分类讨论，求出的最值，即可解出a的范围.

（1）函数的定义域为，

①当，即时，

∵，

∴，在上单调递增，

②当，即时，可知函数在上单调递减，在上单调递增，

此时的最小值为

若，即时，恒大于0，此时函数没有零点；

若，即时，函数有一个零点；

若，即时，函数有两个零点.

综上可知，当时，函数没有零点；

当时，函数有一个零点；

当时，函数有两个零点.

（2）由（1）可知，当时，

函数在上单调递增，

所以只需要，

即，显然成立，

∴；

当,即时，

函数在上单调递减，此时需要，

即，不等式无解；

当，即时，

在上单调递增，所以只需要，

即，显然成立，

∴；

当，即时，

在上单调递减，在上单调递增，

此时只需，解得.

综上可知实数的取值范围为.