Question

（2012•宣城模拟）袋中装有2个白球，2个红球，它们大小、形状完全相同，仅强度不同，白球被击中1次破裂（成粉末），红球被击中2次破裂（被击中1次外形不改变）．现随机击2次，设每次均击中一球，每球被击中的可能性相等，记ξ为袋中剩余球的个数．
（Ⅰ）求袋中恰好剩2个球的概率；
（Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）袋中恰好剩2个球，表示分别击中两个白球，故可求概率；
（Ⅱ）ξ的可能取值：2，3，4．袋中恰好剩3个球分三类：击中一白一红；击中一红一白；击中同一红球；从而可求ξ的分布列及数学期望．

解答：解：（Ⅰ）袋中恰好剩2个球，表示分别击中两个白球，P（ξ=2）=

C

1 2

×

1

4

×

1

3

=

1

6

…（4分）
（Ⅱ）ξ的可能取值：2，3，4  …（5分）
袋中恰好剩3个球分三类：击中一白一红P1=

C

1 2

C

1 2

×

1

4

×

1

3

=

1

3

；
击中一红一白P2=

C

1 2

C

1 2

×

1

4

×

1

4

=

1

4

；击中同一红球P3=

C

1 2

×

1

4

×

1

4

=

1

8

∴P（ξ=3）=P1+P2+P3=

17

24

（8分）
P（ξ=4）=

C

1 2

×

1

4

×

1

4

=

1

8

…（10分）
ξ的分布列如下：

ξ	2	3	4
P	1 6	17 24	1 8

Eξ=2×

1

6

+3×

17

24

+4× 

1

8

=

71

24

…（12分）

点评：本题重点考查离散型随机变量的概率分布列及数学期望，解题的关键是确定ξ的可能取值，并明确其意义．