题目内容

已知函数 $数学公式$
（1）若k＞0且函数f（x）在区间（k，k+ $数学公式$ ）上存在极值，求实数k的取值范围
（2）如果存在x∈[2，+∞），使得不等式 $数学公式$ 成立，求实数a的取值范围．

解：（1）∵函数 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
由 $\text{[math]}$ ，得x=1，
由条件 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ．
（2）∵ $\text{[math]}$
=（1+ $\text{[math]}$ ）（1+lnx），
设g（x）=（1+ $\text{[math]}$ ）（1+lnx），
$\text{[math]}$ ，
再设h（x）=x-2lnx， $\text{[math]}$ ，
∴h（x）增，h（x）≥h（2）＞0，
∴g′（x）＞0，g（x）增．
∴g（x）≥g（2）=2（1+ln2），
∴a≥2+2ln2．
分析：（1）由 $\text{[math]}$ ，得x=1，再由 $\text{[math]}$ ，能求出实数k的取值范围．
（2） $\text{[math]}$ =（1+ $\text{[math]}$ ）（1+lnx），设g（x）=（1+ $\text{[math]}$ ）（1+lnx），则 $\text{[math]}$ ，再设h（x）=x-2lnx，则h（x）增，h（x）≥h（2）＞0，坆g′（x）＞0，g（x）增．由此能求出实数a的取值范围．
点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用，考查运算求解能力，考查论证推理能力，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．