Question

已知lg²

c

a

=4lg

a

b

•lg

b

c

，则a，b，c成

 

数列．

Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：由已知条件的结构与一元二次方程的根的判别式的结构相似，构造方程，再根据系数之和为1，得到方程的根为1，再利用韦达定理得到结论．

解答： 解：构造方程(lg

a

b

)x2+(lg

c

a

)x+lg

b

c

=0，①，
∵lg²

c

a

=4lg

a

b

•lg

b

c

，
∴方程①有两个相等的实根，
又lg

a

b

+lg

c

a

+lg

b

c

=0，
∴方程①有根为x=1，
根据韦达定理，得

lg b c

lg a b

=1，
即lg

b

c

=lg

a

b

，
即

b

c

=

a

b

，
∴b²=ac，
∴a，b，c成等比数列．
故答案为：等比

点评：本题主要考查了等比数列，对数的运算性质，以及一元二次方程根的问题，关键是构造方程，属于中档题．