题目内容
已知数列{an}满足a1=2，
，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设
，求
；（3）当n≥2时，求证：
＜
．
【答案】分析：（1）由已知，得
，由此可以求出an=n22n．
（2）
．
=1•21+2•22+3•23++n•2n，再用错位相减法可求出
=2（1-2n）+n•2n+1=（n-1）2n+1+2．
（3）当n≥2时，
=
=
＜
=
．由此入手可证出
＜
．
解答：解：（1）由已知，得
，∴
是公比为2的等比数列，首项为a1=2．
∴
，an=n22n．（6分）
（2）
．
=1•21+2•22+3•23++n•2n，①
2
=1•22+2•23++（n-1）•2n+n•2n+1，②
①-②，得-
=21+22+23++2n-n•2n+1，
∴
=2（1-2n）+n•2n+1=（n-1）2n+1+2．（12分）
（3）当n≥2时，
=
=
＜
=
．
∴
=
=
=
＜
．（18分）
点评：本题问题叙述简捷，形式优美，体现数学的形式美、内在美．
第（1）问，也可采用迭代法来完成，理科生还可使用数学归纳法来实施．
第（2）问，仍作为压轴问题，旨在强调数列中的一些重要方法．
第（3）问，若将结论减弱为
＜
．则所提供的解法中，只须保留原来的两项，或者也可以直接将
，从第3项起，放大为
．
，由此可以求出an=n22n．（2）
．
=1•21+2•22+3•23++n•2n，再用错位相减法可求出
=2（1-2n）+n•2n+1=（n-1）2n+1+2．（3）当n≥2时，
=
=
＜
=
．由此入手可证出
＜
．解答：解：（1）由已知，得
，∴
是公比为2的等比数列，首项为a1=2．∴
，an=n22n．（6分）（2）
．
=1•21+2•22+3•23++n•2n，①2
=1•22+2•23++（n-1）•2n+n•2n+1，②①-②，得-
=21+22+23++2n-n•2n+1，∴
=2（1-2n）+n•2n+1=（n-1）2n+1+2．（12分）（3）当n≥2时，
=
=
＜
=
．∴
=
=
=
＜
．（18分）点评：本题问题叙述简捷，形式优美，体现数学的形式美、内在美．
第（1）问，也可采用迭代法来完成，理科生还可使用数学归纳法来实施．
第（2）问，仍作为压轴问题，旨在强调数列中的一些重要方法．
第（3）问，若将结论减弱为
＜
．则所提供的解法中，只须保留原来的两项，或者也可以直接将
，从第3项起，放大为
． 
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