Question

（2013•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知bsinA=3csinB，a=3，cosB=

2

3

．
（Ⅰ） 求b的值；
（Ⅱ） 求sin(2B-

π

3

)的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 直接利用正弦定理推出bsinA=asinB，结合已知条件求出c，利用余弦定理直接求b的值；
（Ⅱ） 利用（Ⅰ）求出B的正弦函数值，然后利用二倍角公式求得正弦、余弦函数值，利用两角差的正弦函数直接求解sin(2B-

π

3

)的值．

解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，有正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

，可得bsinA=asinB，
又bsinA=3csinB，可得a=3c，又a=3，所以c=1．
由余弦定理可知：b²=a²+c²-2accosB，cosB=

2

3

，
即b²=3²+1²-2×3×cosB，
可得b=

6

．
（Ⅱ）由cosB=

2

3

，可得sinB=

5

3

，
所以cos2B=2cos²B-1=-

1

9

，
sin2B=2sinBcosB=

4 5

9

，
所以sin(2B-

π

3

)=sin2Bcos

π

3

-sin

π

3

cos2B=

4 5

9

×

1

2

-(-

1

9

)×

3

2

=

4 5 + 3

18

．

点评：本题考查余弦定理，正弦定理以及二倍角的正弦函数与余弦函数，两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．