题目内容

已知圆O的方程为x²+y²=2，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为两切点，则 $数学公式$ • $数学公式$ 的最小值为

A.
-6+4 $数学公式$
B.
-6-4 $数学公式$
C.
-8+4 $数学公式$
D.
-8-4 $数学公式$

A
分析：利用圆切线的性质：与圆心切点连线垂直；设出一个角，通过解直角三角形求出PA，PB的长；利用向量的数量积公式表示出 $\text{[math]}$ ，利用三角函数的二倍角公式化简函数，
通过换元，再利用基本不等式求出最值．
解答：设PA与PO的夹角为a，则|PA|=|PB|= $\text{[math]}$ ．
设y= $\text{[math]}$ =|PA|•|PB|cos2α= $\text{[math]}$ •cos2α= $\text{[math]}$ •2cos2α= $\text{[math]}$ •2cos2α．
记cos2α=u，．则y=2 $\text{[math]}$ =2×[（-u-2）+ $\text{[math]}$ ]=2×[-3+（1-u）+ $\text{[math]}$ ]≥2（-3+2 $\text{[math]}$ ），
∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 的最小值为-6+4 $\text{[math]}$ ，
故选A．
点评：本题考查圆切线的性质、三角函数的二倍角公式、向量的数量积公式、基本不等式求函数的最值，属于中档题．

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