Question

函数y=x+

1

x+1

的值域是

（-∞，-3]∪[1，+∞）

．

Answer 1

分析：y=x+

1

x+1

=（x+1）+

1

x+1

-1，分x+1＞0与x+1＜0两种情况讨论，应用基本不等式即可求得函数y=x+

1

x+1

的值域．

解答：解：∵y=x+

1

x+1

=（x+1）+

1

x+1

-1，
①若x+1＞0，即x＞-1，y=（x+1）+

1

x+1

-1≥2-1=1，（当且仅当x=0时取“=”）；
②若x+1＜0，即x＜-1，-[（x+1）+

1

x+1

]=-（x+1）-

1

x+1

≥2，（当且仅当x=-2时取“=”）；
于是（x+1）+

1

x+1

≤-2，故y=（x+1）+

1

x+1

-1≤-3；
综上所述：函数y=x+

1

x+1

的值域是：（-∞，-3]∪[1，+∞）．
故答案为：（-∞，-3]∪[1，+∞）．

点评：本题考查基本不等式，关键在于对x+1分x+1＞0与x+1＜0两种情况讨论，再正确应用基本不等式解决问题，属于中档题．