题目内容

某商场以100元/件的价格购进一批衬衣，以高于进价的价格出售，销售有淡季旺季之分．通过市场调查发现：
①销售量r（x）（件）与衬衣标价x（元/件）在销售旺季近似地符合函数关系：r（x）=kx+b₁；在销售淡季近似地符合函数关系：r（x）=kx+b₂，其中k＜0，b₁、b₂＞0且k、b₁、b₂为常数；
②在销售旺季，商场以140元/件的价格销售能获得最大销售利润；
③若称①中r（x）=0时的标价x为衬衣的“临界价格”，则销售旺季的“临界价格”是销售淡季的“临界价格”的1.5倍．
请根据上述信息，完成下面问题：
（Ⅰ）填出表格中空格的内容；
数量关系

销售季节标价
（元/件）销售量r（x）（件）
（含k、b₁或b2）不同季节的销售总利润y（元）
与标价x（元/件）的函数关系式
旺　季 x r（x）=kx+b₁
淡　季 x
（Ⅱ）在销售淡季，该商场要获得最大销售利润，衬衣的标价应定为多少元才合适？

解：（Ⅰ）

	标价（元/件）	销售量r（x）（件）（含k、b₁或b2）	不同季节的销售总利润y（元）与标价x（元/件）的函数关系式
旺季	x	r（x）=kx+b₁	y=kx²-（100k-b₁）x-100b₁
淡季	x	r（x）=kx+b₂	y=kx²-（100k-b₂）x-100b₂

（Ⅱ）在（Ⅰ）的表达式中，由k＜0可知，
在销售旺季，当 $\text{[math]}$ 时，利润y取最大值；
在销售淡季，当 $\text{[math]}$ 时，利润y取最大值．
下面分销售旺季和销售淡季进行讨论：
由②知，在销售旺季，商场以140元/件价格出售时，能获得最大利润．
因此在销售旺季，当标价 $\text{[math]}$ 时，利润y取最大值．
此时b₁=-180k，销售量为r（x）=kx-180k．
由kx-180k=0知，在销售旺季，衬衣的“临界价格”为180元/件．…（4分）
∵销售旺季的“临界价格”是销售淡季的“临界价格”的1.5倍，
∴销售淡季的“临界价格”为120元/件，
∴120k+b₂=0，
∴在销售淡季，当标价 $\text{[math]}$ 元/件时，利润y取最大值．
故在销售淡季，商场要获得最大利润，应将衬衣的标价定为110元/件合适．…（4分）
分析：（Ⅰ）根据销售总利润等于销售量r（x）（件）与衬衣标价x的积减去销售量r（x）（件）与衬衣进价，可填写表格；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的表达式中，由k＜0可知，在销售旺季，当 $\text{[math]}$ 时，利润y取最大值；
在销售淡季，当 $\text{[math]}$ 时，利润y取最大值．由②知，在销售旺季，商场以140元/件价格出售时，能获得最大利润．因此在销售旺季，当标价 $\text{[math]}$ 时，利润y取最大值，从而可求在销售旺季，衬衣的“临界价格”为180元/件，根据销售旺季的“临界价格”是销售淡季的“临界价格”的1.5倍，可得销售淡季的“临界价格”为120元/件，所以120k+b₂=0，从而可求销售淡季，商场要获得最大利润，衬衣的标价．
点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查新定义，解题时构建函数，正确理解题意是关键．

练习册系列答案

数量关系销售季节	标价（元/件）	销售量r（x）（件）（含k、b₁或b2）	不同季节的销售总利润y（元）与标价x（元/件）的函数关系式
旺季	x	r（x）=kx+b₁
淡季	x

（Ⅱ）在销售淡季，该商场要获得最大销售利润，衬衣的标价应定为多少元才合适？

（本小题满分12分）某商场以100元/件的价格购进一批衬衣，以高于进价的价格出售，销售有淡季旺季之分.通过市场调查发现：①销售量（件）与衬衣标价x（元/件）在销售旺季近似地符合函数关系：；在销售淡季近似地符合函数关系：、、、为常数；②在销售旺季，商场以140元/件的价格销售能获得最大销售利润；③若称①中时的标价x为衬衣的“临界价格”，则销售旺季的“临界价格”是销售淡季的“临界价格”的1.5倍.