Question

（1）过点与双曲线有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。

（2）直线与双曲线相交于A、B两点，当为何值时，A、B在双曲线的同一支上？当为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？

Answer 1

（1）满足条件的直线有两条和（2）当或时，A、B两点在同一支上；当时，A、B两点在双曲线的两支上。

解析:

（1）解：若直线的斜率不存在时，则，此时仅有一个交点，满足条件；

若直线的斜率存在时，设直线的方程为则，

，  ∴，

，

当时，方程无解，不满足条件；

当时，方程有一解，满足条件；

当时，令，

化简得：无解，所以不满足条件；

所以满足条件的直线有两条和。

（2）把代入整理得：……（1）

当时，。

由>0得且时，方程组有两解，直线与双曲线有两个交点。

若A、B在双曲线的同一支，须>0 ，所以或。

故当或时，A、B两点在同一支上；当时，A、B两点在双曲线的两支上。

点评：与双曲线只有一个公共点的直线有两种。一种是与渐近线平行的两条与双曲线交于一点的直线。另一种是与双曲线相切的直线也有两条。