Question

已知m＞0，p：（x+2）（x-6）≤0，q：2-m≤x≤2+m．
（I）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若m=5，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析：（I）通过解不等式化简命题p，将p是q的充分条件转化为[-2，6]是[2-m，2+m]的子集，列出不等式组，求出m的范围．
（II）将复合命题的真假转化为构成其简单命题的真假，分类讨论，列出不等式组，求出x的范围．

解答：解：p：-2≤x≤6．
（I）∵p是q的充分条件，
∴[-2，6]是[2-m，2+m]的子集
∴

m＞0 2-m≤-2 2+m≥6

⇒m≥4∴实数m的取值范围是[4，+∞）．---------（6分）
（Ⅱ）当m=5时，q：-3≤x≤7．据题意有，p与q一真一假．--------------（7分）
p真q假时，由

-2≤x≤6 x＜-3或x＞7

⇒x∈φ---------（9分）
p假q真时，由

x＜-2或x＞6 -3≤x≤7

⇒-3≤x＜-2或6＜x≤7．---------（11分）
∴实数x的取值范围为[-3，-2）∪（6，7]．---------（12分）

点评：判断一个命题是另一个命题的什么条件，一般先化简各个命题再利用充要条件的定义判断；解决复合命题的真假问题常转化为简单命题的真假情况．