Question

如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=
（I）求证：AO⊥平面BCD；
（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；
（III）求点E到平面ACD的距离．

Answer 1

【答案】分析：（I）欲证AO⊥平面BCD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AO与平面BCD内两相交直线垂直，而CO⊥BD，AO⊥OC，BD∩OC=O，满足定理；
（II）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，异面直线AB与CD的向量坐标，求出两向量的夹角即可；
（III）求出平面ACD的法向量，点E到平面ACD的距离转化成向量EC在平面ACD法向量上的投影即可．
解答：解：（I）证明：连接OC
∵BO=DO，AB=AD，
∴AO⊥BD．
∵BO=DO，BC=CD，
∴CO⊥BD．
在△AOC中，由已知可得
而AC=2，
∴AO²+CO²=AC²，
∴∠AOC=90^o，即AO⊥OC．
∵BD∩OC=O，
∴AO⊥平面BCD
（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），D（-1，0，0），
∴，
∴异面直线AB与CD所成角的大小为
（III）解：设平面ACD的法向量为，
则
∴
令y=1，得是平面ACD的一个法向量．
又，
∴点E到平面ACD的距离
点评：本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．