Question

已知向量

a

=(cosx，sinx)，

b

=(-cosx，cosx)，

c

=(-1，0)．
（1）若x=

π

6

，求向量

a

与

c

的夹角；
（2）若函数f（x）=2

a

•

b

+1，写出f（x）的单调递增区间，并求当x∈[

π

2

，π]时函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）当x=

π

6

时，可得

a

=(

3

2

，

1

2

)，代入cos＜

.

a

，

c

＞=

a • c

| a |•| c |

，可得向量

a

与

c

夹角的余弦值，进而得到向量

a

与

c

的夹角
（2）根据向量数量积公式，倍角公式，可得f（x）=

2

sin（2x-

π

4

），结合正弦函数的图象和性质，可得函数的单调区间，再由x∈[

π

2

，π]，结合函数的单调性，可得函数的最值，进而得到此时函数f（x）的值域．

解答：解：（1）当x=

π

6

时，

a

=(

3

2

，

1

2

)
又∵

c

=(-1，0)
∴cos＜

.

a

，

c

＞=

a • c

| a |•| c |

=-

3

2

又两向量的夹角范围为[0，π]，
所以向量

a

与

c

的夹角为

5π

6

．
（2）∵

a

=(cosx，sinx)，

b

=(-cosx，cosx)，
∴f（x）=2

a

•

b

+1=2（-cos²x+sinxcosx）+1=2sinxcosx-（2cos²x-1）=sin2x-cos2x=

2

sin（2x-

π

4

），
由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

π

2

+2kπ得
kπ-

π

8

≤x≤kπ+

π

8

，
于是f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

8

，kπ+

π

8

]，k∈Z．
因为x∈[

π

2

，π]，
所以2x-

π

4

∈[

3π

4

，

7π

4

]，
sin(2x-

π

4

)∈[-1，

2

2

]，
f(x)=

2

sin(2x-

π

4

)∈[-

2

，1]

点评：本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，两角和与差的正弦函数，正弦函数的图象和性质，熟练掌握正弦函数的图象和性质，是解答的关键．