题目内容

求函数 $数学公式$ 的最小值，其中a＞0．

解：由题意得，a＞0，则函数的定义域为R，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
设t= $\text{[math]}$ ，则t $\text{[math]}$ ，函数变为y= $\text{[math]}$ ，且t $\text{[math]}$ ，
∴函数y= $\text{[math]}$ 在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，
当 $\text{[math]}$ 时，即0＜a≤1时，函数的最小值为：y_min=1+1=2，
当 $\text{[math]}$ 时，即a＞1时，函数的最小值为：y_min= $\text{[math]}$ ，
综上得，当0＜a≤1时，y_min=2；当a＞1时，y_min= $\text{[math]}$ ．
分析：先由题意求出函数的定义域，再利用分离常数法将解析式化简，再进行换元并求出未知数的范围，代入后求出函数的单调性，再对a进行分类求出对应的最小值．
点评：本题考查了利用函数的单调性求最值问题，关键是利用分离常数法将解析式化简，考查了分离常数法和换元法，分类讨论思想．