Question

观察下列等式
     1=1
     2+3+4=9
   3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
…
（Ⅰ）照此规律，请你猜测出第n个等式；
（Ⅱ）用数学归纳法证明你猜测的等式

 

．（其他证法不给分）

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意，观察等式的左边，分析可得规律：第n个等式的左边是从n开始的（2n-1）个数的和，进而可得答案．
（Ⅱ）首先证明当n=1时等式成立，再假设n=k时等式成立，得到等式k+（k+1）+（k+2）+…+（3k-1）=（2k-1）²，下面证明当n=k+1时等式左边=（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）+（3k-1）+3k+（3k+1）根据前面的假设化简即可得到结果，最后得到结论．

解答：（Ⅰ）解：根据题意，观察可得，
第一个等式的左边、右边都是1，
第二个等式的左边是从2开始的3个数的和，
第三个等式的左边是从3开始的5个数的和，
…
其规律为：第n个等式的左边是从n开始的（2n-1）个数的和，
即n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-1）=（2n-1）²；
故答案为：5+6+7+8+9+10+11+12+13=81．
（Ⅱ）证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，
∴左边=右边
（2）假设n=k时等式成立，即k+（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）=（2k-1）²，
当n=k+1时，等式左边=（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）+（3k-1）+（3k）+（3k+1）=（2k-1）²+（3k-1）-k+3k+（3k+1）═（2k+1）²．
综上（1）（2）可知n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1）²对于任意的正整数n都成立．

点评：（Ⅰ）本题考查归纳推理，解题时要认真分析题意中的等式，发现其变化的规律，注意验证即可．（Ⅱ）本题考查用数学归纳法证明等式成立，用数学归纳法证明问题的步骤是：第一步验证当n=n₀时命题成立，第二步假设当n=k时命题成立，那么再证明当n=k+1时命题也成立．本题解题的关键是利用第二步假设中结论证明当n=k+1时成立，本题是一个中档题目．