题目内容

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点 $数学公式$ 在直线 $数学公式$ 上，数列{b_n}满足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N*），且b₃=11，前9项和为153．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）求数列 $数学公式$ 前n项的和．

解：（1）由题意可知 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n+5
n=1时，a₁=S₁=6也适合
∴a_n=n+5；
∵b_n+2-2b_n+1+b_n=0，∴b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n，
∴{b_n}是等差数列
∵前9项和为153
∴ $\text{[math]}$ =9b₅=153，∴b₅=17
∵b₃=11，∴公差d= $\text{[math]}$ =3
∴b_n=3n+2；
（2）设数列 $\text{[math]}$ 前n项的和T_n，则
T_n=2⁶×5+2⁷×8+…+2ⁿ⁺⁵•（3n+2）①
∴2T_n=2⁷×5+2⁸×8+…+2ⁿ⁺⁶•（3n+2）②
①-②：-T_n=2⁶×5+3×（2⁷+2⁸+…+2ⁿ⁺⁵）-2ⁿ⁺⁶•（3n+2）=-2⁶-（3n-1）•2ⁿ⁺⁶
∴ $\text{[math]}$
分析：（1）利用点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，求得S_n，再写一式，两式相减，可得数列{a_n}的通项公式；确定数列{b_n}是等差数列，利用b₃=11，前9项和为153，即可求数列{b_n}的通项公式；
（2）利用错位相减法，可求数列 $\text{[math]}$ 前n项的和．
点评：本题考查数列的通项与求和，考查数列与函数的联系，正确运用求和公式是关键．