Question

若至少存在一个x＞0，使得关于x的不等式x²＜2-|x-a|成立，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：原不等式为：2-x²＞|x-a|，在同一坐标系画出y=2-x²（y≥0，x＞0）和 y=|x|两个图象，利用数形结合思想，易得实数a的取值范围．

解答：解：不等式等价为：2-x²＞|x-a|，且2-x²＞0，
在同一坐标系画出y=2-x²（y≥0，x＞0）和 y=|x|两个函数图象，
将绝对值函数 y=|x|向左移动，当右支经过 （0，2）点，a=-2；
将绝对值函数 y=|x|向右移动让左支与抛物线y=2-x²（y≥0，x＞0）相切时，
由

y=-(x-a) y=2-x2

，
即x²-x+a-2=0，
由△=0 解得a=

9

4

．
由数形结合可得，实数a的取值范围是（-2，

9

4

）．
故答案为：（-2，

9

4

）．

点评：本题考查的知识点是一元二次函数的图象，及绝对值函数图象，其中在同一坐标中，画出y=2-x²（y≥0，x＞0）和 y=|x|两个图象，结合数形结合的思想得到答案，是解答本题的关键．