Question

已知函数f（x）=e^x-kx，（k∈R，x∈R）
（Ⅰ）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若k＞0，且对于任意x≥0，f（x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）令g（x）=e^x-2lnx，若至少存在一个实数x₀∈[1，e]，使f（x₀）＜g（x₀）成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函数的导数，只要解导数的不等式即可，根据导数与0的关系判断函数的单调性；
（Ⅱ）f′（x）=e^x-k，由f′（x）=0，得到x=lnk．再对k进行分类讨论，得到f（x）在[0，+∞）上的最小值，让最小值大于0解出k即可；
（Ⅲ）由于存在x₀∈[1，e]，使f（x₀）＜g（x₀），则kx₀＞2lnx₀⇒k＞

2lnx0

x0

，只需要k大于F(x)=

2lnx

x

的最小值即可．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=e^x-e，令f′（x）=0，解得x=1
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（1，+∞）单调递增；
当x∈（-∞，1）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（-∞，1）单调递减．
f（x）的单调递增区间是（1，+∞），f（x）的单调递减区间是（-∞，1）．   
（Ⅱ）f′（x）=e^x-k，令f′（x）=0，解得x=lnk．                     
①当k∈（0，1]时，f′（x）=e^x-k＞1-k≥0（x＞0）．此时f（x）在[0，+∞）上单调递增．
f（x）≥f（0）=1＞0，符合题意．                        
②当k∈（1，+∞）时，lnk＞0．当x变化时f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（0，lnk）	lnk	（lnk，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	单调递减	极小值	单调递增

由此可得，在[0，+∞）上，f（x）≥f（lnk）=k-klnk．              
依题意，k-klnk＞0，又k＞1，1＜k＜e．
综合①，②得，实数k的取值范围是0＜k＜e．                    
（Ⅲ）由于存在x₀∈[1，e]，使f（x₀）＜g（x₀），
则kx₀＞2lnx₀
故k＞

2lnx0

x0

令F(x)=

2lnx

x

，则F′(x)=

2(1-lnx)

x2

当x∈[1，e]时，F′（x）≥0（仅当x=e时取等号）
∴F（x）在[1，e]上单调递增，
∴F（x）_min=F（1）=0，因此k＞0．

点评：本题考查导数在研究函数的单调性、最值和中的应用，考查等价转化的思想方法以及分析问题的能力．